Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABC). Lấy điểm M thuộc cạnh SC sao cho CM = 2MS. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BM bằng 4217. Thể tích của khối tứ diện C.ABM bằng:

Gọi H là trung điểm của AB do tam giác SAB đều nên SH⊥AB.

Ta có: SAB⊥ABC=ABSH⊂SAB,SH⊥AB⇒SH⊥ABC.

Dựng hình vuông ABFC ta có BF//AC⇒AC//BMF

⇒dAC;BM=dAC;BMF=dA;BMF.

Lại có AH∩BMF=B⇒dA;BMFdH;BMF=ABHB=2⇒dA;BMF=2dH;BMF

Trong (SHC) kẻ ME//SHE∈CH⇒ME⊥ABC.

Kéo dài HC cắt BF tại N, áp dụng định lí Ta-lét ta có BHFC=NHNC=NBNF=12⇒H là trung điểm của NC.

⇒ACBN là hình bình hành

Ta có: HE∩BMF=N⇒dH;BMFdE;BMF=HNEN=HCHE+HC

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: HEHC=SMSC=13⇒HE=13HC

⇒dH;BMFdE;BMF=HNEN=HCHE+HC=HC13HC+HC=34⇒dH;BMF=34dE;BMF

⇒dAC;BM=dA;BMF=32dE;BMF

Trong (ABC) kẻ EI//ABI∈BF, trong (MEI) kẻ EJ⊥IM ta có:

BF⊥AB,EI//AB⇒BF⊥EIBF⊥MEME⊥ABC⇒BF⊥MEI⇒BF⊥EJ

EJ⊥BFEJ⊥MI⇒EJ⊥BMF⇒dE;BMF=EJ

⇒dAC;BM=32dE;BMF=32EJ=4217⇒EJ=821.

Ta có: MESH=CMCS=23⇒ME=23SH. Mà SH=AB32⇒ME=AB33.

Ta có: HNEN=34cmt⇒NENH=43⇒NENC=23=IEFC=IEAB⇒IE=23AB.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác MEI ta có:

1EJ2=1EI2+1EM2

⇒2164=149AB2+113AB2

⇒2164=214AB2

⇔AB=4

⇒ME=AB33=433,SΔABC=12AB2=8.

Vậy VC.ABM=13ME.SΔABC=13.433.8=3239.

Chọn B.