Cho các số thực a, b > 1 và phương trình logaaxlogbbx=2021 có hai nghiệm phân biệt m, n. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=4a2+25b2100m2n2+1 bằng:

Phương pháp:

- Từ giả thiết logaaxlogbbx=2021 đưa về phương trình bậc hai ẩn lnx.

- Sử dụng định lí Vi-ét cho phương trình bậc hai tìm tích abmn.

- Tìm GTNN của biểu thức P nhờ BĐT Cô-si.

Cách giải:

Theo bài ra ta có:

logaaxlogbbx=2021x>0

⇔1+logax1+logbx=2021

⇔1+logax.logbx+logax+logbx=2021

⇔logax.logbx+logax+logbx=2020

⇔lnxlna.lnxlnb+lnxlna+lnxlnb=2020

⇔ln2x+lna+lnblnx−2020lna.lnb=0

⇔ln2x+lnablnx−2020lna.lnb=0

Đặt t = lnx phương trình trở thành t2+lnab.t−2020lna.lnb=0 *

Vì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt nên Δ=ln2ab+8080lna.lnb>0.

Phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt m, n nên phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt t1=lnmt2=lnn.

Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có lnm+lnn=−lnab⇔mn=1ab⇔mnab=1.

Do a,b>1⇒mn>0.

Xét P=4a2+25b2100m2n2+1 ta có

⇒P≥24a2.25b2.2100m2n2.1

⇒P≥2.10ab.20mn=400abmn≥400

Dấu “=” xảy ra ⇔2a=5b10mn=1=10ab⇔2a=5bab=10⇔a=5b=2.

Vậy Pmin=400⇔a=5,b=2.

Chọn D.