Cho mặt cầu (S) có bán kính R. Hình nón (N) thay đổi có đỉnh và đường kính đáy nằm trên mặt cầu (S). Thể tích lớn nhất của khối nón (N) là:

Phương pháp:

- Gọi h là chiều cao của hình nón, r là bán kính đường tròn đáy của hình nón. Sử dụng định lí Pytago biểu diễn r theo h, R.

- Thể tích khối nón có chiều cao h bán kính đáy r là V=13πr2h.

- Sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTLN của thể tích.

Cách giải:

Gọi h là chiều cao của hình nón. Để thể tích khối nón là lớn nhất thì hiển nhiên h > R.

Gọi r là bán kính đường tròn đáy của hình nón.

Ta có IH=SH−SI=h−R.

Áp dụng định lí Pytago ta có r=R2−h−R2=2hR−h2.

⇒ Thể tích khối nón là V=13πr2h=13π2hR−h2.h=π32Rh2−h3.

Xét hàm số fh=−h3+2Rh2 với h > R ta có f'h=−3h2+4Rh=0⇔h=0ktmh=4R3tm.

Chọn D.