Cho hàm số f(x)=x4−4x3+4x2+a. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [0;2]. Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn [-3;3] sao cho M≤2 m

Xét hàm số g(x)=x4−4x3+4x2+a trên [0;2].

Ta có g'(x)=4x3−12x2+8x=0⇔x=0∈[0;2]x=1∈[0;2]x=2∈[0;2].

Ta có g(0)=a;g(1)=a+1;g(2)=a⇒Max[0;2]f(x)=Max{|a|;|a+1|};Minf[0;2]f(x)=Min{|a|;|a+1|}

Do 2 m≥M>0 nên m > 0. Do đó a(a+1)>0⇔a<−1a>0.

Nếu a < -1 thì M=−a;m=−a−1. Khi đó 2 m≥M⇔−2a−2≥−a⇔a≤−2.

Nếu a > 0 thì M=a+1;m=a. Khi đó 2m≥M⇔2a≥a+1⇔a≥1.