Cho tam giác đều ABC có đường cao AH, lấy điểm M tùy ý thuộc đoạn HC (M không trùng với H, C). Hình chiếu vuông góc của M lên các cạnh AB, AC lần lượt là P và Q.

1)    Chứng minh rằng APMQ là tứ giác nội tiếp và xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ.

2)    Chứng minh rằng: BP.BA = BH.BM

3)    Chứng minh rằng: OH <!--[if gte vml 1]> <!--[endif]--> PQ.

4)    Chứng minh rằng khi M thay đổi trên HC thì MP +MQ không đổi.