a) Ta có: ˆC1=ˆC2C1^=C2^ (đối đỉnh)
ˆB=ˆC1B^=C1^ (do ΔABCΔABC cân đỉnh AA)
⇒ˆB=ˆC2⇒B^=C2^ (=ˆC1C1^)
Xét ΔΔ vuông DBMDBM và ΔΔ vuông ECNECN có:
BD=CEBD=CE (giả thiết)
ˆB=ˆC2B^=C2^ (cmt)
⇒Δ⇒Δ vuông DBM=ΔDBM=Δ vuông ECNECN (cgv-gn)
⇒DM=EN⇒DM=EN (đpcm)
 
b) Xét ΔΔ vuông IDMIDM và ΔΔ vuông IENIEN có:
ˆDIM=ˆEINDIM^=EIN^ (đối đỉnh)
DM=ENDM=EN (chứng minh ở câu a)
⇒Δ⇒Δ vuông IDM=ΔIDM=Δ vuông IENIEN (cgv-gn)
⇒IM=IN⇒IM=IN và I∈MNI∈MN (do BCBC cắt MNMN tại II)
⇒I⇒I là trung điểm của MNMN (đpcm)
 
c) Dựng đường thẳng đi qua B và vuông góc với AB, dựng đường thẳng qua C và vuông góc với AC, hai đường thẳng này cắt nhau tại F
Xét ΔΔ vuông ABFABF và ΔΔ vuông ACFACF có:
AB=ACAB=AC (do ΔABCΔABC cân đỉnh AA)
AFAF chung
⇒Δ⇒Δ vuông ABF=ΔABF=Δ vuông ACFACF (ch-cgv)
⇒FB=FC⇒FB=FC  và có AB=ACAB=AC
⇒AF⇒AF là đường trung trực của BCBC, nên FF thuộc đường trung trực của BCBC do B,CB,C cố định nên đường trung trực của BCBC cố định nên FF cố định
Xét ΔΔ vuông BFMBFM và ΔΔ vuông CFNCFN có:
BM=CNBM=CN (do ΔDBM=ΔECNΔDBM=ΔECN)
BF=CFBF=CF (cmt)
⇒Δ⇒Δ vuông BFM=ΔBFM=Δ vuông CFNCFN (2 cạnh góc vuông)
⇒FM=FN⇒F⇒FM=FN⇒F thuộc đường trung trực của MN
Vậy đường trung trực của MN đi qua điểm F cố định (đpcm)