Ta có:BD+BC=CE+BC(Vì BD=CE)

=>DC=BE

Vì ΔABC cân tại A nên AB=AC và ^ABC=^ACB hay ^ACD=^ABE

Xét ΔADC và ΔAEB

AC=AB

^ACD=^ABE

DC=BE

=>ΔACD=ΔABE(gcg)

=>AD=AE suy ra ΔADE cân tại A

b,Ta có BM+BD=MC+CE

=>DM=EM

Xét ΔAMDvà ΔAME

DM=EM

^ADM=^AEM(ΔADEcân tại A)

AD=AE

=>ΔAMD=ΔAME(cgc)

=>^DAM=^EAM

mà AM nằm giữa AD và AE

nên AM là tia phân giác ^DAE

 Vì ΔADE cân tại A(cmt)

Có AM là đường phân giác của DAEˆ(cmt)

=> AM đồng thời là đường cao của ΔADE

=> AM⊥DE.

c,xét ΔDBH và ΔECK

BD=CE

^BHD=^CKE(= 90 độ )

HDB^=KEC^

=>ΔDBH =ΔECK(chgn)

=>BH=CK

d,nối HK

tg ABH=tg ACK =>AH=AK

=> tg AHK cân ở A

=> AHK^=(180−HAK)/2

mà tg ADE cân ở A

=>  ADE^=(180−DAE)/2

^DAE trùng ^HAK=>  AHK^=ADE^

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị => HK //DE => HK//BC

e, xét tg vuông ANH và tg vuông ANK có:

AN chung

AH=AK(cmt)

=> tg ANH=tg ANK( c h- c gv)

=>NAH^=NAK ^

=> AN là tia p.g của HAK^(hay DAE^)

mà AM là pg DAE(cmt)

=> AM và AN trùng nhau

=> A,M,N thẳng hàng