Bài 2: Phép đối xứng qua mặt phẳng và sự bằng nhau của các khối đa diện

Bài 8 (trang 15 sgk Hình Học 12 nâng cao): Cho hình hộp lập Phương ABCD.A’B’C’D’. chứng minh rằng:

a) Cho các hình chóp A.A’B’C’D’ và hình chóp C’.ABCD bằng nhau.

b) Hình lăng trụ ABC.A’B’C’ và AA’D’.BB’C’ bằng nhau.

Lời giải:

a) Cách 1: Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập Phương nên phếp đối xứng qua mặt phẳng trung trực của AA’ biến hình chóp A.A’B’C’D’ thành hình chópA’.ABCD và phép đối xứng qua (BB’DD’) biến hình chóp A’.ABCD thành hình chóp A.A’B’C’D’ và C’.ABCD bằng nhau (vì phép đối xứng qua mặt phẳng phép dời hình)

Cách 2: cho điểm O cố định. Phép biến hình biến mỗi điểm M trong không gian thành điểm M’ sao cho (OM') ⃗=- (OM) ⃗ gọi là phép đối xứng tâm O. dễ chứng minh được phép đới xứng tâm là một phép dời hình.

Gọi O là trung điểm của AC’ thì O cũng là trung điểm của các đường chép BD’, A’C, B’D nên phép đối xứng tâm O biến A, A’, B’, C’, D’ lần lượt thành C’, C, D, A, B. vậy các hình chóp A.A’B’C’D’ và C’.ABCD bằng nhau (do phép đối xứng tâm là phép dời hình).

b) Xét phép đối xứng qua mặt phẳng (ADC’B’)

Ta có:

A->A';B->A,C->D,A'->B,B'->B; C'->C'

Do đó lăng trụ ABC.A’B’C’ -> lăng trụ AA’D’.BB’C’

Vì vậy hai lăng trụ ABC.A’B’C’ và AA’D’.BB’C’