a.Vì ABAB là trung trực của DH,DH∩AB=MDH,DH∩AB=M

→M→M là trung điểm DH,AB⊥DHDH,AB⊥DH

→MD=MH,ˆIMD=ˆIMH=90o→MD=MH,IMD^=IMH^=90o

Mà ΔIMD,ΔIMHΔIMD,ΔIMH có chung cạnh IMIM

→ΔIMD=ΔIMH(c.g.c)→ΔIMD=ΔIMH(c.g.c)

b.Từ câu a→ˆDIM=ˆMIH→DIM^=MIH^

→IM→IM là phân giác góc ngoài tại đỉnh II của ΔIHKΔIHK

→IA→IA là phân giác góc ngoài tại đỉnh II của ΔIHKΔIHK

Tương tự có KAKA là phân giác góc ngoài đỉnh KK của ΔIHKΔIHK

c.Vì ABAB là trung trực của DH→AD=AH,ID=IHDH→AD=AH,ID=IH

Mà ΔAID,ΔAHIΔAID,ΔAHI có chung cạnh AIAI

→ΔADI=ΔAHI(c.c.c)→ΔADI=ΔAHI(c.c.c)

→ˆAHI=ˆADI→AHI^=ADI^

Ta có ACAC là trung trực của HE→AH=AE,KH=KEHE→AH=AE,KH=KE

Mà ΔAHK,ΔAEKΔAHK,ΔAEK có chung cạnh AK→ΔAHK=ΔAEK(c.c.c)AK→ΔAHK=ΔAEK(c.c.c)

→ˆAHK=ˆAEK→AHK^=AEK^

Mà AD=AE(=AH)AD=AE(=AH)

→ˆADI=ˆAEK→ADI^=AEK^

→ˆAHI=ˆAHK→AHI^=AHK^

→HA→HA là phân giác ˆIHKIHK^

d.Kẻ BF⊥DK=F,BG⊥HK=GBF⊥DK=F,BG⊥HK=G

→ˆBFD=ˆBGH=90o→BFD^=BGH^=90o

Ta có AH⊥BC,HAAH⊥BC,HA là phân giác ˆIHKIHK^

→ˆIHB=90o−ˆIHA=12(180o−2ˆIHA)=12(180o−ˆIHK)=12ˆIHG→IHB^=90o−IHA^=12(180o−2IHA^)=12(180o−IHK^)=12IHG^

→2ˆIHB=ˆIHG→2IHB^=IHG^

→ˆIHB=ˆIHG−ˆIHB→IHB^=IHG^−IHB^

→ˆIHB=ˆBHG→IHB^=BHG^

Mà ˆIHB=ˆIDBIHB^=IDB^ vì ABAB là trung trực của DHDH

→ˆBHG=ˆIDB=ˆFDB→BHG^=IDB^=FDB^

Lai có BD=BHBD=BH
→ΔDBF=ΔHBG→ΔDBF=ΔHBG (cạnh huyền-góc nhọn)

→BF=BG→BF=BG

Kết hợp BF⊥KD,BG⊥KHBF⊥KD,BG⊥KH

→KB→KB là phân giác ˆDKHDKH^

→ˆBKH=12ˆDKH→BKH^=12DKH^

→ˆBKC=ˆBKH+ˆHKC=12ˆIKH+12ˆHKE=12ˆIKE=90o→BKC^=BKH^+HKC^=12IKH^+12HKE^=12IKE^=90o

→BK⊥AC→BK⊥AC

Tương tự chứng minh được CI⊥ABCI⊥AB

→AH,CI,BK→AH,CI,BK là ba đường cao ΔABCΔABC

→AH,CI,BK→AH,CI,BK đồng quy