Cho tam giác ABCABC nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt các cạnh AB,ACAB,AC lần lượt tại các điểm M,N(M≠B,N≠C)M,N(M≠B,N≠C). Gọi H là giao điểm của BN và CM; P là giao điểm của AH và BC.

Ta có ˆBMC=ˆBNC=900BMC^=BNC^=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ˆAMH=ˆANH=900⇒AMH^=ANH^=900

⇒⇒ Tứ giác AMHNAMHN có ˆAMH+ˆANH=900+900=1800⇒AMH^+ANH^=900+900=1800⇒ Tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800).

Xét ΔABPΔABP và ΔCBMΔCBM có:

ˆAPB=ˆCMB=900APB^=CMB^=900 ;

ˆABCABC^ chung;

⇒ΔABP∼ΔCBM(g.g)⇒BABP=BCBM⇒BM.BA=BP.BC⇒ΔABP∼ΔCBM(g.g)⇒BABP=BCBM⇒BM.BA=BP.BC  

Ta có BN⊥AC;CM⊥AB;BN∩CM=H⇒HBN⊥AC;CM⊥AB;BN∩CM=H⇒H là trực tâm tam giác ABC.

ΔABCΔABC đều ⇒ˆABP=ˆABC=600⇒ABP^=ABC^=600

Xét tam giác vuông ABP có AP=AB.sin600=2a.√32=a√3AP=AB.sin⁡600=2a.32=a3

Do H là trực tâm tam giác ABC nên đồng thời H cũng là trọng tâm của tam giác ABC⇒AH=23AP=23a√3=2a√33⇒AH=23AP=23a3=2a33

Vì AH là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHN nên bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHN là AH2=a√33AH2=a33.

Vậy chu vi đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHN là C=2π.a√33=2πa√33C=2π.a33=2πa33.

Gọi D là giao điểm của OA và EF.

H là trực tâm tam giác ABC ⇒AH⊥BC⇒AP⊥BC⇒ˆAPC=900⇒AH⊥BC⇒AP⊥BC⇒APC^=900

ˆBNC=900BNC^=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ˆANH=900⇒ANH^=900 

Xét ΔAHNΔAHN và ΔACPΔACP có :

ˆANH=ˆAPC=900ANH^=APC^=900 (cmt)

ˆPACPAC^ chung ;

⇒ΔAHN∼ΔACP(g.g)⇒AHAC=ANAP⇒AH.AP=AN.AC(1)⇒ΔAHN∼ΔACP(g.g)⇒AHAC=ANAP⇒AH.AP=AN.AC(1)

XétΔAFNΔAFNvà ΔACFΔACF có :

ˆFACFAC^ chung ;

ˆAFN=ˆACFAFN^=ACF^ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung NF).

⇒ΔAFN∼ΔACF(g.g)⇒AFAC=ANAF⇒AN.AC=AF2(2)⇒ΔAFN∼ΔACF(g.g)⇒AFAC=ANAF⇒AN.AC=AF2(2)

Ta có AF⊥OF(gt)⇒ΔOAFAF⊥OF(gt)⇒ΔOAF vuông tại F.

Có AE=AFAE=AF (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) ; OE=OF(=R)⇒OAOE=OF(=R)⇒OA là trung trực của EF.

⇒OA⊥EF⇒FD⇒OA⊥EF⇒FD là đường cao của tam giác vuông OAF.

⇒AF2=AD.AO(3)⇒AF2=AD.AO(3) (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

Từ (1), (2) và (3) ⇒AH.AP=AD.AO⇒AHAO=ADAP⇒AH.AP=AD.AO⇒AHAO=ADAP

Xét ΔAHDΔAHD và ΔAOPΔAOP có:

ˆOAPOAP^ chung;

AHAO=ADAP(cmt)AHAO=ADAP(cmt);

⇒ΔAHD∼ΔAOP(c.g.c)⇒ΔAHD∼ΔAOP(c.g.c).

⇒ˆADH=ˆAPO=900⇒HD⊥OA⇒ADH^=APO^=900⇒HD⊥OA

Từ đó ta có qua điểm D ta kẻ đượcEF⊥OAEF⊥OA(cmt) và HD⊥OA⇒EF≡HDHD⊥OA⇒EF≡HD.

Vậy ba điểm E,H,FE,H,F thẳng hàng.