a)`

Xét `ΔABC` nội tiếp đường tròn `(O)` có `AB` là đường kính

`⇒ΔABC` vuông tại `C`

`⇒BC⊥AC`

Mà `OH⊥AC(g``t)`

`⇒OH////BC`(từ `⊥` đến `////)`

Xét `ΔABC` có:

`OH////BC(cmt)`

`OA=OB=R`

`⇒HA=HC`

Xét `ΔABC` có:

`OA=OB=R`

`HA=HC(cmt)`

`⇒OH` là đường trung bình của `ΔABC`

`⇒OH=(BC)/2=R/2`(tính chất đường trung bình của `Δ)`

Ta có:`OB=OC=BC=R`

`⇒ΔOBC` đều

`⇒hat{B}=60^o`(tính chất `Δ` đều)

Vậy `OH=R/2` và `hat{B}=60^o`

`b)`

Ta có:`OA=OC=R`

`⇒ΔOAC` cân tại `O`

Mà `ΔOAC` cân tại `O` có `OH` là đường cao

`⇒OH` đồng thời là đường phân giác

`⇒hat{O_1}=hat{O_2}`

Xét `ΔOCD` và `ΔOAD` có:

          `OC=OA=R`

       `hat{O_1}=hat{O_2}(cmt)`

          `OD:chung`

`⇒ΔOCD=ΔOAD(c.g.c)`

`⇒hat{OCD}=hat{OAD}(2` góc tương ứng)

Mà `hat{OAD}=90^o`(tính chất tiếp tuyến)

`⇒hat{OCD}=90^o`

`⇒DC⊥OC`

`⇒DC` là tiếp tuyến của `(O)(đpcm)`

`c)`

Ta có:`hat{OAD}=90^o`(tính chất tiếp tuyến)

`⇒ΔOAD` vuông tại `A`

Ta có:`OH⊥AC(g``t)`

Mà `D∈OH,H∈AC`

`⇒AH⊥OD`

Xét `ΔOAD` vuông tại `A` và `AH` là đường cao ta có:

                   `AD²=DH.DO`(hệ thức lượng)`(1)`

Ta có:`hat{DAB}=90^o`(tính chất tiếp tuyến)

`⇒ΔDAB` vuông tại `A`

Xét `ΔABE` nội tiếp đường tròn `(O)` có `AB` là đường kính

`⇒ΔABE` vuông tại `E`

`⇒AE⊥BE`

Mà `D∈BE`

`⇒AE⊥BD`

Xét `ΔDAB` vuông tại `A` và `AE` là đường cao ta có:

                   `AD²=DE.DB`(hệ thức lượng)`(2)`

Từ `(1)` và `(2)⇒DH.DO=DE.DB`

                       `⇒(DH)/(DB)=(DE)/(DO)`

Xét `ΔDEH` và `ΔDOB` có:

       `(DH)/(DB)=(DE)/(DO)(cmt)`

               `hat{D}:chung`

`⇒ΔDEH`$\backsim$`ΔDOB(c.g.c)`

`⇒hat{DEH}=hat{DOB}(2` góc tương ứng)

Hay `hat{DEH}=hat{HOB}`

Mà `hat{DEH}+hat{BEH}=180^o(2` góc kề bù)

`⇒hat{HOB}+hat{BEH}=180^o`

Xét tứ giác `EHOB` có:`hat{HOB}+hat{BEH}=180^o`

Mà `2` góc `hat{HOB}` và `hat{BEH}` nằm ở vị trí đối nhau

`⇒` tứ giác `EHOB` nội tiếp(đpcm)