Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) : 14.x2=mx+114.x2=mx+1  (1)

<=> x2 = 4mx + 4 <=> x2 - 4mx - 4 = 0

ΔΔ' = (-2m)2 + 4 = 4m2 + 4 ≥≥ 4 > 0 với mọi m

=> (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt 

Vậy (P) luôn cắt (d) tại 2 điểm  phân biệt

b) Gọi 2 nghiệm đó là x1; x2

Theo hệ thức Vi ét có: 

 x1 +  x2 = 4m

 x1 x2 = - 4 < 0

=>  x1; x2  trái dấu . 

A; B là 2 giao điểm => A (x1; mx1 + 1); B(x2; mx2 + 1) . Giả sử x1 < 0 < x2

+)  A; B nằm về hai phía của trục tung do  x1; x2  trái dấu . 

Gọi H; K lần lượt là hình chiếu của A; B xuống Ox => H(x1; 0); K(x2; 0)

Khi đó S OAB = S AHKB - SAHO - SBKO

S AHKB = (AH + BK). HK : 2 = (mx1 + 1 +mx2 + 1 ) .(- x1 + x2) : 2 = (m(x1+x2)+2)(x2−x1)2=m(x22−x21)+2.(x2−x1)2(m(x1+x2)+2)(x2−x1)2=m(x22−x12)+2.(x2−x1)2

SAHO = AH.HO : 2 = (mx1 + 1). (-x1) : 2  = −mx21−x12−mx12−x12

SBKO = BK.KO : 2 = (mx2 + 1). x2 : 2 = mx22+x22mx22+x22

Vậy SOAB = m(x22−x21)+2.(x2−x1)2m(x22−x12)+2.(x2−x1)2- −mx21−x12−mx12−x12 - mx22+x22mx22+x22

= m(x22−x21)+2.(x2−x1)+m(x21−x22)+x1−x22=x2−x12m(x22−x12)+2.(x2−x1)+m(x12−x22)+x1−x22=x2−x12

ta có: (x2−x1)2=x22−2x2x1+x21=(x1+x2)2−4x1.x2(x2−x1)2=x22−2x2x1+x12=(x1+x2)2−4x1.x2

= (4m)2 - 4.(-4) = 16m2 + 16

=> x2 - x1 = √16m2+16=4.√m2+116m2+16=4.m2+1

Vậy SOAB = 4.√m2+1