a) Xét ΔAHB có

M là trung điểm của AH(gt)

N là trung điểm của BH(gt)

Do đó: MN là đường trung bình của ΔAHB(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒MN//AB và MN=AB2MN=AB2(Định lí 2 đường trung bình của tam giác)

Ta có: MN//AB(cmt)

AB//CD(hai cạnh đối trong hình chữ nhật ABCD)

Do đó: MN//CD(Định lí 3 từ vuông góc tới song song)

hay MN//CP

Ta có: MN=AB2MN=AB2(cmt)

mà AB=CD(hai cạnh đối trong hình chữ nhật ABCD)

nên MN=CD2MN=CD2

mà CP=CD2CP=CD2(P là trung điểm của CD)

nên MN=CP

Xét tứ giác MNCP có

MN//CP(cmt)

MN=CP(cmt)

Do đó: MNCP là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

b) Ta có: MN//AB(cmt)

AB⊥BC(ABCD là hình chữ nhật)

Do đó: MN⊥BC(Định lí 2 từ vuông góc tới song song)

Xét ΔBMC có

MN là đường cao ứng với cạnh BC(cmt)

BH là đường cao ứng với cạnh MC(BH⊥AC, M∈AC)

MN∩∩BH={N}

Do đó: N là trực tâm của ΔBMC(Tính chất ba đường cao của tam giác)

⇒NC là đường cao ứng với cạnh MB

⇒NC⊥MB

mà NC//MP(Hai cạnh đối trong hình bình hành MNCP)

nên MB⊥MP(đpcm)

c) Xét ΔMBP vuông tại M có MI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BP(I là trung điểm của BP)

nên MI=BP2MI=BP2(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

mà IP=BP2IP=BP2(I là trung điểm của BP)

nên MI=IP

Để MI-IJ<IP

thì MI-IP<IJ

hay 0<IJ(luôn đúng)