1. Chứng minh: Tứ giác EFIK là hình thang cân:

Gọi P là trung điểm của AM và S là trung điểm của BM.

Xét ΔΔACM: E là trung điểm CM, P là trung điểm AM => EP là đường trung bình ΔΔACM

=> EP//AC (*)

Ta có: ^DMB=^CAM=600. Mà 2 góc này đồng vị => DM//AC (1)

Xét ΔΔADM: K là trung điểm AD, P là trung điểm AM

=> PK là đường trung bình ΔΔADM => PK//DM (2)

Từ (1) và (2) => PK//AC (**)

Từ (*) và (**) => 3 điểm E,K,P thẳng hàng

Tương tự: FS là đường trung bình ΔΔCMB => FS//CM.

Mà CM//BD (Đồng vị) => FS//BD. Lại có: IS//BD => 3 điểm F,I,S thẳng hàng.

Xét  ΔΔCMB: E là trung điểm CM, F là trung điểm BC

=> EF là đường trung bình của ΔΔCMB => EF/MB => EF//AB (3)

Xét ΔΔAMD: K là trung điểm AD, I là trung điểm DM

=> IK là đường trung bình ΔΔAMD => IK//AM => IK//AB (4)

Từ (3) và (4) => EF//IK (5)

Do E,K,P thẳng hàng => ^EKI và ^EPS là 2 góc đồng vị. Mà IK//AB (KI//PS)

=> ^EKI=^EPS (6)

Tương tự F,I,S thẳng hàng; IK//PS => ^FIK=^FSP (Đồng vị) (7)

Ta thấy: EP//AC => ^EPS=^CAM=600;  FS//BD => ^FSP=^DBM=600

=> ^EPS=^FSP=600 (8)

Từ (6); (7) và (8) => ^EKI=^FIK=600 (9)

Từ (5) và (9) => Tứ giác EFIK là hình thang cân (đpcm)

2. Chứng minh KF=1/2CD:

Gọi N là trung điểm AB, Q là trung điểm AC.

Xét ΔΔADB: K là trung điểm AD, N là trung điểm AB

=> KN là đường trung bình của ΔΔADB => KN//BD và KN=1/2BD => KN=1/2DM (10)

PK là đường trung bình ΔΔAMD (cmt) => PK=1/2DM (11)

Từ (10) và (11) => KN=PK

Xét ΔΔACM: Q là trung điểm AC, P là trung điểm AM

=> PQ là đường trung bình ΔΔACM => PQ//CM ;PQ=1/2CM (12)

NF là đường trung bình ΔΔABC => NF=1/2AC => NF=1/2CM (13)

Từ (12) và (13) => PQ=NF

Lại có: ^KPQ=^KNF=600 (Tự tính)

Xét ΔΔQKP và ΔΔFKN có:

KP=KN (cmt)

^KPQ=^KNF       => ΔΔQKP=ΔΔFKN (c.g.c)

PQ=NF (cmt)

=> KQ=KF (2 canh tương ứng) (14)

Xét ΔΔCAD: Q là trung điểm AC, K là trung điểm AD

=> KQ là đường trung bình ΔΔCAD => KQ=1/2CD (15)

Từ (14) và (15) => KF=1/2CD (đpcm).