câu 1.
A = x^2 + 4x + 5
= (x + 2)^2 + 1
vì (x + 2)^2 >= 0 với mọi x
suy ra (x + 2)^2 + 1 >= 1 với mọi x
suy ra A min = 1 dấu bằng khi chỉ khi x = -2
B = - x^2 - 2x + 2
= -(x + 1)^2 + 3
vì -(x + 1)^2 <= 0 với mọi x
suy ra -(x + 1)^2 + 3 <= 3 với mọi x
suy ra Bmax = 3 dấu bằng xảy ra khi chỉ khi x = -1
C = x^2 + 2x + 3
= (x + 1)^2 + 2
vì (x + 1)^2 >= 0 với mọi x
suy ra (x + 1)^2 + 2 >= 2 với mọi x
suy ra Cmin = 2 dấu bằng xảy ra khi chỉ khi x = -1

D = - x^2 + 4x + 2000
= -(x - 2)^2 + 2002
vì -(x - 2)^2 <= 0 với mọi x
suy ra -(x - 2)^2 + 2002 <= 2002 với mọi x
suy ra Dmax = 2002 dấu bằng xảy ra khi chỉ khi x = 2
E = 10x - 4x^2 - 23
= -(2x - 5/2)^2 -16,75
vì -(2x - 2,5)^2 <= 0 với mọi x
suy ra -(2x - 2,5)^2 - 16,75 <= 16,75 với mọi x
suy ra Emax = -16,75 dấu bằng xảy ra khi chỉ khi x = 1,25
F = 1/ (x^2 - 2x + 3)
= 1/ [(x - 1)^2 + 2]
vì (x - 1)^2 + 2 >= 2 với mọi x
suy ra 1/ [(x - 1)^2 + 2] <= 1/2
suy ra Fmax = 1/2 dấu bằng xảy ra khi chỉ khi x = 1

câu 2
áp dụng bdt Cosi cho 2 số ko âm ta có:
2003.2005 <= (2003 + 2005)^2 / 4
suy ra 2003.2005 <= 4008^2 /4
mà 4008^2 = (2004.2)^2 = 2004^2 . 4
từ đó suy ra
2003.2005 <= 2004^2
vì đây là số tự nhiên nên ko xảy ra dấu bằng
suy ra 2003.2005 < 2004^2
vậy A < B