câu 8
ta chứng minh bdt: a^2 + ab + b^2 >= 3/4 .(a + b)^2
xét hiệu, ta có: 4(a^2 + ab + b^2) - 3(a + b)^2
= 4a^2 + 4ab +4b^2 - 3a^2 - 6ab - 3b^2
= (a - b)^2 >= 0 với mọi a, b
suy ra 4(a^2 + ab + b^2) >= 3(a + b)^2
hay a^2 + ab + b^2 >= 3/4 .(a + b)^2
áp dụng ta được
√(a^2 + ab + b^2) >= √(3)/2.(a + b)
chứng minh tương tự với các phần tử còn lại, ta được
VT >= √(3)/2 . (a + b + b + c + c + a) = √(3).(a + b + c)
dấu bằng xảy ra khi chỉ khi a = b = c

câu 5:
áp dụng bdt Cosi cho 6 số a, b, c ta được:
a^3 + a^3 + a^3 + a^3 + b^3 + c^3 >= 6 căn bậc 6 của (a^12.b^3.c^3) = 6.a^2.√(bc)
b^3 + b^3 + b^3 + b^3 + a^3 + c^3 >= 6 căn bậc 6 của (b^12.a^3.c^3) = 6.b^2.√(ac)
c^3 + c^3 + c^3 + c^3 + b^3 + a^3 >= 6 căn bậc 6 của (c^12.b^3.a^3) = 6.c^2.√(ba)
suy ra 6.(a^3 + b^3 + c^3) >= 6.(a^2.√(bc) + b^2.√(ac) + c^2.√(ba))
hay a^3 + b^3 + c^3 >= a^2.√(bc) + b^2.√(ac) + c^2.√(ba)
dấu bằng xảy ra khi chỉ khi a = b = c