a) Ta có:

Xét hình thang BEFCBEFC có:

ON//BE//CFON//BE//CF và OO là trung điểm của EFEF.

→N→N là trung điểm của BCBC và ONON là đường trung bình của hình thang BEFCBEFC

→ON=12(BE+CF)→ON=14(AB+CD)→ON=12(BE+CF)→ON=14(AB+CD)

Tương tự với hinh thang AEFDAEFD ta có: MM là trung điểm của ADAD và OM=14(AB+CD)OM=14(AB+CD)

Như vậy →OM=ON→OM=ON

→O→O là trung điểm của MNMN.

Mặt khác: OO là trung điểm của EFEF và EF∩MN=OEF∩MN=O

→EMFN→EMFN là hình bình hành.

b) Ta có:

EMFNEMFN là hình thoi

⇔EF⊥MN=O⇔EF⊥MN=O

⇔EF⊥CD=F⇒ˆOFC=ˆOFD=900⇒ˆNFC=ˆMFD(ˆOFN=ˆOFM)⇔EF⊥CD=F⇒OFC^=OFD^=900⇒NFC^=MFD^(OFN^=OFM^)

Lại có: EMFNEMFN là hình thoi →NF=MF→NF=MF

Khi đó:

⎧⎪⎨⎪⎩NF=MFˆNFC=ˆMFDFC=FD⇒ΔNFC∼ΔMFD(g.g)⇒ˆNCF=ˆMDF⇒ˆBCD=ˆADC{NF=MFNFC^=MFD^FC=FD⇒ΔNFC∼ΔMFD(g.g)⇒NCF^=MDF^⇒BCD^=ADC^

→ABCD→ABCD là hình thang cân.

c) 

Ta có:

Hình EMFNEMFN là hình vuông khi và chỉ khi EMFNEMFN là hình thoi và EF=MNEF=MN

→EMFN→EMFN là hình thang cân và