a. Để chứng minh ΔABM = ΔACN, ta cần chứng minh AB = AC, BM = CN và góc ABM = góc ACN.

Vì AB = AC (theo đề bài), BM = CN (vì M và N lần lượt là trung điểm của AC và AB), nên ta chỉ cần chứng minh góc ABM = góc ACN.

Ta có:
Góc ABM = Góc ABC (vì BM là đường trung bình trong tam giác ABC)
Góc ACN = Góc ACB (vì CN là đường trung bình trong tam giác ABC)

Vì AB = AC và ABC là tam giác cân, nên góc ABC = góc ACB.

Do đó, góc ABM = góc ACN. Từ đó suy ra ΔABM = ΔACN.

Tương tự, ta có thể chứng minh ΔBMC = ΔCNB bằng cách sử dụng các tính chất tương tự.

b. Để chứng minh AE = AF, ta cần chứng minh ME = NF và góc AME = góc ANF.

Vì M là trung điểm của BF và N là trung điểm của CF, ta có ME = NF.

Góc AME = Góc BME (vì M là trung điểm của BF)
Góc ANF = Góc CNF (vì N là trung điểm của CF)

Vì BM = CN (vì M và N lần lượt là trung điểm của AC và AB), nên góc BME = góc CNF.

Do đó, góc AME = góc ANF và ME = NF. Từ đó suy ra AE = AF.

c. Để chứng minh FAE thẳng hàng, ta cần chứng minh góc AFE = 180° - góc FAE.

Vì AE = AF (đã chứng minh ở câu b), nên tam giác AEF là tam giác cân.

Do đó, góc AFE = góc AEF.

Vì tam giác AEF là tam giác cân, nên góc AEF = góc EAF.

Từ đó suy ra góc AFE = góc EAF.

Vậy góc AFE = 180° - góc FAE, từ đó suy ra FAE thẳng hàng.

d. Để chứng minh MN // BC và MN // EF, ta cần chứng minh MN là đường trung bình của tam giác ABC và tam giác AEF.

Vì M và N lần lượt là trung điểm của AC và AB, nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

Vì M là trung điểm của BF và N là trung điểm của CF, nên MN là đường trung bình của tam giác AEF.

Do đó, MN // BC và MN // EF.