a) Xét tam giác ABC có M là trung điểm của AB (gt) ,E là trung điểm của AC (gt)

⇒ME là đường trung bình tam giác ABC

⇒ME=1/2BC(tc)(1)

Xét tam giác ADC có E là trung điểm của AC (gt) ,P là trung điểm của DC (gt)

⇒PElà đường trung bình của tam giác ADC

⇒PE=1/2AD(tc)(2)

mà AD=BC(gt)(3)

Từ (1) , (2) và (3) ⇒EM=PE

CMTT: PE=FP,FM=ME

⇒ME=EP=PF=FM

Xét tứ giác MEPF có:

ME=EP=PF=FM(cmt)

⇒MEPF ( dhnb)

 b) Vì MEPFlà hình thoi (cmt)

⇒FEgiao với MP tại trung điểm mỗi đường (tc)  (4)

Xét tam giác ADB có M là trung điểm của AB(gt) ,Q là trung điểm của AD (gt)

⇒MQlà đường trung bình của tam giác ADB

⇒MQ//DB,MQ=1/2DB(tc)(5)

Xét tam giác BDC có N là trung điểm của BC(gt) , P là trung điểm của DC(gt)

⇒NPlà đường trung bình của tam giác BDC

⇒NP//DB,NP=1/2DB(tc)(6)

Từ (5) và (6) ⇒MQ//PN,MQ=PN

Xét tứ giác MQPN có ⇒MQ//PN,MQ=PN

⇒MQPNlà hình bình hành (dhnb)

⇒MPgiao QN tại trung điểm mỗi đường (tc) (7)

Từ (4) và (7) ⇒MP,NQ,EFcắt nhau tại một điểm 

c) Xét tam giác ABD có Q là trung điểm của AD (gt), F là trung điểm của BD(gt)

⇒QFlà đường trung bình của tam giác ADB

⇒QF//AB(8)

CMTT: FN//CDvà EN//AB

Mà Q,F,E,N thẳng hàng 

⇒AB//CD

Vậy để Q,F,E,N thẳng hàng thì tứ giác ABCD phải thêm điều kiện  AB//CD