a)     CMR: MD2=MB.MCMD2=MB.MC.

Áp dụng định lý: Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung = góc nội tiếp cùng chắn một cung ta có: ∠MDC=∠MBD

Xét ΔMDBΔ và ΔMCD ta có:

∠DMB  chung∠MDC=∠MBD  (cmt)⇒ΔMDB∽ΔMCD  (g−g)⇒MDMB=MCMD⇒MB.MC=MD2   (dpcm).∠DMB  chung∠MDC=∠MBD  (cmt)⇒ΔMDB∽ΔMCD  (g−g)⇒MDMB=MCMD⇒MB.MC=MD2   (dpcm).

b)     Qua B kẻ đường thẳng song song với MO cắt AD tại P. CMR: B, H, D, P cùng thuộc một đường tròn.

Ta có: HB = HC (gt) nên OH vuông BE (mối liên hệ giữa đường kính và dây cung), lại có MD vuông OD (tính chất tiếp tuyến) nên: ∠OHM=∠ODM=900.∠OHM=∠ODM=900.

Do đó H, D nằm trên đường tròn đường kính OM.

Hay tứ giác OHDMOHDM nội tiếp đường tròn đường kính OM.OM.

⇒∠HDO=∠HMO⇒∠HDO=∠HMO (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(OH\().

Lại có: BP//OM⇒∠HOB=∠OMHBP//OM⇒∠HOB=∠OMH (hai góc so le trong).

⇒∠HBP=∠HDP (=∠OMH).⇒∠HBP=∠HDP (=∠OMH).

⇒HPDB⇒HPDB là tứ giác nội tiếp hay H, P, B, DH, P, B, D cùng thuộc một đường tròn.

c)     CMR: O là trung điểm EF.

Ta có : Tứ giác BHDP nội tiếp (cmt) nên : ∠BHD=∠BPD∠BHD=∠BPD (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BD)

Vì : EF // BP nên : ∠BPD=∠EOD;  ∠AOF=∠EOD⇒∠BPD=∠FOA.∠BPD=∠EOD;  ∠AOF=∠EOD⇒∠BPD=∠FOA.

Lại có : ∠BDH=∠OAF∠BDH=∠OAF (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(CD\()

⇒OAF∽ΔHBD  (g−g).⇒OAHB=OFHD   (1).⇒OAF∽ΔHBD  (g−g).⇒OAHB=OFHD   (1).

Mà ∠CHD=1800−∠BHD=1800−∠AOF=∠AOE∠CHD=1800−∠BHD=1800−∠AOF=∠AOE và ∠EOA=∠HCD∠EOA=∠HCD (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BD\()

⇒ΔOAE∽ΔHCD (g−g).⇒OAHC=EODH  (2)⇒ΔOAE∽ΔHCD (g−g).⇒OAHC=EODH  (2)

Mặt khác có : HB=HC  (gt)   (3)HB=HC  (gt)   (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có : OFDH=OEDH⇒OE=OF⇒OOFDH=OEDH⇒OE=OF⇒O là trung điểm của EF.EF.   (đpcm)