a) Tam giác ABM nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên vuông tại M

=> AN ⊥ BM (t/c)

Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên vuông tại C

=> AC ⊥ BN

Tam giác ABN có hai đường cao AC và BM cắt nhau tại E nên E là trọng tâm của tam giác ABN

=> NE ⊥ AB

b) Ta có: MA = MN ( tính chất đối xứng tâm)

                 ME = MF ( tính chất đối xứng tâm)

Tứ giác AENF có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi điểm đường nên nó là hình bình hành.

=>    AF // NE

Mà          NE ⊥ AB ( chứng minh trên)

=> AF ⊥ AB tại A.

Vậy FA là đường trung tuyến của đường tròn (O) (đpcm)

c) Trong tam giác ABN ta có: AN ⊥ BM và AM = AN

=> tam giác ABN cân tại B.

=> BA = BN hay N thuộc đường tròn (B; BA)

Tứ giác AFNE là hình bình hành nên  AE // FN hay FN // AC

Mà AC ⊥ BN ( chứng minh trên)

=> FN ⊥ BN tại N

Vậy FN là tiếp tuyến của đường tròn ( B; BA).