Để giải phương trình 2xy - 6x - y = 21, ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng tường minh hơn: 2xy - y - 6x = 21

Bước 2: Sử dụng phương pháp nhóm để tách biến: 2xy - y - 6x = 21 <=> y(2x - 1) - 6x = 21 <=> y(2x - 1) = 6x + 21 <=> y = (6x + 21)/(2x - 1)

Bước 3: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn phương trình: Để (6x + 21)/(2x - 1) là số nguyên, ta phải có:

• (2x - 1) là ước của 6x + 21
• (2x - 1) khác 0

Vậy, 2x - 1 là một trong các ước của 6x + 21, tức là tồn tại số nguyên k sao cho: 6x + 21 = k(2x - 1) <=> 6x + 21 = 2kx - k <=> (2k - 6)x = k + 21 <=> x = (k + 21)/(2k - 6)

Khi đó, y = (6x + 21)/(2x - 1) = (6(k + 21)/(2k - 6) + 21)/(2(k + 21)/(2k - 6) - 1) = (3k + 21)/(k - 2)

Do x, y là số nguyên nên (k + 21) chia hết cho (2k - 6) và (k - 2) chia hết cho 3. Ta có thể thử các giá trị nguyên của k để tìm x và y thỏa mãn:

Khi k = 0: x không phải số nguyên Khi k = 1: x không phải số nguyên Khi k = 2: x không phải số nguyên Khi k = 3: x = 12, y = 15 Khi k = 4: x không phải số nguyên Khi k = 5: x = 6, y = 9 Khi k = 6: x không phải số nguyên Khi k = 7: x = 4, y = 5

Vậy, phương trình có các nghiệm nguyên là (12, 15), (6, 9) và (4, 5).