a) Xét tam giác GMC và tam giác QMB có:

             MQ=MG ( GT)

             góc BMQ= góc GMC( đối đỉnh)

             BM=MC ( AM trung tuyến)

Nên tam giác GMC= tam giác QMB (c.g.c)

=> CG=BQ ( 2 cạnh tương ứng)Trong tam giác BGC có:      BG+ CG> BC ( Bất đẳng thức trong tam giác)      Hay BG + BQ > BCLại có: BC= BM + MCmà BM= MC ( AM trung tuyến BC)     => BC= 2BM= 2MC  <=> BG + BQ > 2MB    => BG+ BQ/2> MB, đccm.

b) Ta có: MB=MC=1/2BC (1)

Lại có: MQ=MG và M,G,K thẳng hàng

=> M là trung điểm=> BM là trung tuyến (2)

Từ (1), (2) => Trung tuyến BM = 1/2 cạnh BC của tam giác ABC (*)

Ta có: Tam giác GMC= QMB ( Theo a)

=> góc CGM = góc BQB ( 2 góc tương ứng) 

Mà 2 góc này nằm ở vị trí so le trong

=> CG // BQ

<=> CT // BQ (T, G, C thẳng hàng)

=> Góc TBK= góc BGT ( so le trong)

 => Góc TBG= Góc KGB ( so le trong)

Xét tam giác TBG và tam giác TBK có:

              Góc TBK= góc BGT (c/m trên)             

              Góc TBG= Góc KGB ( c/m trên)

              GB cạnh chung

Nên tam giác TBG= tam giác TBK (g.c.g)

=> BT= KG ( 2 cạnh tương ứng)

Mà BT=1/2 AB ( CT trung tuyến)

=> KG= 1/2 AB

Mà KG là trung tuyến tam giác BGQ

Nên trung KG tam giác BGQ bằng 1/2 cạnh AB của tam giác ABC (**)

Ta có: AG = 2/3 AM (G là trọng tâm )

Lại có: GM= 1/3AM, GM=MQ (GT

            => MQ= 1/3 AM

            => GQ= 2/3AM= AG

Ta có: BG =2/3BN <=> BI=IG=1/3BN , GN=1/3BN ( G là trọng tâm)

=> IG= GN= 1/3BN

 Xét tam giác IGQ và tam giác GNA có

              Góc IGQ= góc NGA ( đối đỉnh)

              AG=GQ ( C/M trên)

              IG= GN ( c/m trên)

Nên tam giác IGQ= tam giác GNA ( c.g.c)

=> IG= AN ( 2 cạnh tương ứng)

 Mà AN= 1/2 AC( BN trung tuyến)

=> IG= 1/2 AC

Mà IG là trung tuyến tam giác QBG( I là trung điểm BG)

Nên trung tuyến IG của tam giác QBG bằng 1/2 cạnh AC của tam giác ABC (***)

Từ (*), (**), (***) => Độ dài cá đường trung tuyến của tam giác BGQ bằng 1/2 độ dài các cạnh tương ứng của tam giác ABC, đccm

      Vậy…