a,Xét tam giac ABM và tam giác NBM ,ta có:
                    góc ABM=góc MBN(AC là đường phân giác của góc ABC)
                     BM chung 
                    AB=BN(gt)
=>tam giác ABM=tam giác NBM(c-g-c)
b,Gọi giao điểm của AN và BM là O 
Ta có :tam giác ABM=tam giác NBM(cmt)
=>góc BAM= góc BNM(HAI GÓC TƯƠNG ỨNG)
Mà góc BAM =90 độ=>góc BNM=90 độ 
=>MN vuông góc với BC
c,Xét tam giác vuông MNC có:MC là cạnh huyền =>MC>MN
Mà MN=AM(tam giác ABM=tam giác NBM)
=>MC>MA
d,Xét tam giác vuông AMI và tam giác vuông NMC có:
             góc AMI=góc NMC(đối đỉnh)
=>tam giác vuông AMI= tam giác NMC vuông (cgv-gnk)
e,Xét tam giác BAO và tam giác BNO có :
              góc ABM=góc MBN(gt)
              AB=BN(gt)
              BO chung 
=> tam giác BAO = tam giác BNO(c-g-c)
=>AO= ON( hai cạnh tương ứng)
Ta có :AB=BN(gt)=>tam giác ABN cân tại B 
Xét tam giác ABN cân tại B có:BO là đường trung tuyến(AO= ON) đồng thời là đường cao
=>BO vuông góc AN hay BM vuông góc AN
f,Ta có :CA vuông góc AB ;IN vuông góc BC 
Mà hai cạnh này cắt nhau tại M 
=>M là trực tâm của tam giác BIC 
=>BM vuông góc IC 
Mà BM vuông góc AN 
=> AN song song với IC