Ta có các điểm sau:

• Đường cao AH chia tam giác ABC thành 2 tam giác vuông ABH và ACH
• Trong tam giác ABH, AM = 1/3 AB và đường cao BH chia AB thành 2 phần bằng nhau, nên BM = 1/2 AB
• Tương tự, trong tam giác ACH, CN = 1/3 AC và đường cao CH chia AC thành 2 phần bằng nhau, nên AN = 1/2 AC

Sử dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông ABH, ta có: $BH^2 = AB^2 - AH^2$

Sử dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông ACH, ta có: $CH^2 = AC^2 - AH^2$

Thêm hai vế của hai biểu thức trên, ta được: $BH^2 + CH^2 = AB^2 + AC^2 - 2AH^2$

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có $AB^2 + AC^2 = 2AH^2$

Thay vào biểu thức trên, ta có: $BH^2 + CH^2 = 2AH^2 - 2AH^2 = 0$

Vậy $BH = CH$, tức là đường cao BH cũng chính là đường cao CH. Kết hợp với AM = 1/3 AB và CN = 1/3 AC, ta có:

$MH = AH - AM = \dfrac{2}{3}AH$

$NH = AH - AN = \dfrac{2}{3}AH$

Do đó, $MH = NH$, tức là đường thẳng MH song song với đường thẳng NH, hay MH thẳng góc với HN.