a) Ta có AM=MB, suy ra góc AMB= góc BMA. Khi đó, tam giác AMB là tam giác cân và góc AMN= góc BNC (cùng bằng góc A). Suy ra tam giác AMN đồng dạng với tam giác BNC theo góc.

Do đó, diện tích của tam giác AMN là:

S_AMN = (1/2)MN.AN.sin(góc AMN)

Diện tích của tam giác BMN cũng tương tự như sau:

S_BMN = (1/2)MN.BN.sin(góc BNM)

Vì tam giác BNC đồng dạng với tam giác AMN theo góc, nên ta có:

BN / AN = NC / AM = 1/2

Từ đó suy ra BN = (1/3) AC và AN = (2/3) AC

Suy ra:

S_BMN / S_AMN = (BN.sin(góc BNM)) / (AN.sin(góc AMN)) = (1/3) / (2/3) = 1/2

Vậy diện tích của tam giác AMN là bằng một nửa diện tích tam giác BMN.

b) Ta có thể suy ra diện tích tam giác BMC bằng diện tích tam giác ABC theo tỉ lệ:

S_BMC / S_ABC = (MB / AB) * (NC / AC) = (1/2) * (1/3) = 1/6

Do đó diện tích tam giác BMNC là:

S_BMNC = S_BMC - S_BMN = S_ABC / 6 - S_BMN

Vậy ta có:

S_AMN / S_BMNC = 2 * S_AMN / S_BMC - S_BMN

Chúng ta đã biết rằng S_BMC/S_ABC=1/6 và S_BMN / S_AMN = 1/2, nên ta có thể tính được:

S_AMN / S_BMNC = 2/3 - 1/2 = 1/6

Do đó diện tích của tam giác AMN là một sáu bằng diện tích tam giác BMNC.