Ta cần tìm một số tự nhiên có dạng 20ab và chia cho 23 dư 22, chia cho 19 dư 9.Đầu tiên, ta xét đến điều kiện chia cho 23 dư 22.

Ta biết rằng:20ab ≡ 22 (mod 23)Tương đương với:20ab = 23k + 22=> 20ab - 22 = 23k

=> 2(10a + b - 1) = 23kVì 2 và 23 là hai số nguyên tố cùng nhau, nên ta có thể suy ra:10a + b - 1 = 23m (với m là một số tự nhiên bất kì)Tương tự, ta cũng xét đến điều kiện chia cho 19 dư 9:20ab ≡ 9 (mod 19)

Tương đương với:20ab = 19n + 9=

> 20ab - 9 = 19n

=> 4(5a + b) - 9 = 19n

Vì 4 và 19 là hai số nguyên tố cùng nhau, nên ta có thể suy ra:5a + b = 19p (với p là một số tự nhiên bất kì)Từ hai phương trình này,

ta có thể suy ra giá trị của a và b:10a + b - 1 = 23m

=> 10a = 23m + 1 - b5a + b = 19p

=> 5a = 19p - bTừ hai phương trình trên, ta suy ra:23m + 1 - b ≡ 0 (mod 10)19p - b ≡ 0 (mod 5)

Từ đó, ta suy ra:b ≡ 1 (mod 10)b ≡ 4 (mod 5)Do đó, b chỉ có thể là 1 hoặc 6 (do đồng dư với 1 hoặc 4 mod 10 và 5).

Nếu b = 1, ta có:10a ≡ 0 (mod 5)10a ≡ 22 (mod 23)Từ phương trình thứ hai, ta suy ra:a ≡ 21 (mod 23)Vì thế, ta có các cặp giá trị (a, b) là (21