a) Ta có: MD⊥BC⇒^MDB=90o

MF⊥AB⇒^MFB=90o

Tứ giác MDBF có: ^MDB+^MFB=180o

⇒MDBF nội tiếp đường tròn đường kính (MB)

Hay M, D, B, F cùng thuộc 1 đường tròn.

Ta có: MD⊥BC⇒^MDC=90o

ME⊥AC⇒^MEC=90o

⇒MDEC thuộc đường tròn đường kính (MC)

hay M,D,E,C cùng thuộc một đường tròn.

b) Ta có: ^FDB=^FMB (góc nội tiếp cùng chắn cung BF của đường tròn đường kính (BM))

^EDC=^EMC (góc nội tiếp cùng chắn cung EC của (MC))

Mà ^FMB=^EMC

(cùng phụ với hai góc bằng nhau ^FBM=^ECM do tứ giác ABMC nội tiếp)

Từ ba điều trên suy ra ^FDB=^EDC

mà B,D,C thẳng hàng nên E,D,F thẳng hàng.

c) Ta có:

ACME+ABMF=AE+ECME+AF−FCMF=AEME+ECME+AFMF−FCMFACME+ABMF=AE+ECME+AF−FCMF=AEME+ECME+AFMF−FCMF

=tan^AME+tan^EMC+tan^AMF−tan^BMF (tan^EMC=tan^BMF)

=tan^AME+tan^AMF

AFME nội tiếp (do có ^AFM+^AEM=90o) nên

^AME=^AFE=^BMD

^AMF=^AEF=^DMC

⇒ACME+ABMF=tan^BMD+tan^MDC

=BDMD+DCMD=BD+DCMD=BCMD.