a) Ta có:

Đường phân giác trong của góc A cắt BC tại D, suy ra:

$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$ (theo định lí phân giác)

Vì AB < AC nên $\frac{AB}{AC} < 1$, suy ra $\frac{BD}{DC} < 1$ hay $BD < DC$.

Vậy $BD < DC$.

b) Ta có:

Do $AD$ là đường phân giác trong của $\angle BAC$, nên:

$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$ (1) (theo định lí phân giác)

Mặt khác, ta có:

$\frac{BD}{AD} = \frac{sin\angle ADB}{sin\angle ABD}$ (2) (theo định lí sin)

$\frac{CD}{AD} = \frac{sin\angle ADC}{sin\angle ACD}$ (3) (theo định lí sin)

Từ (1), (2) và (3), ta có:

$\frac{sin\angle ADB}{sin\angle ADC} = \frac{sin\angle ABD}{sin\angle ACD}$

$\frac{sin\angle ADB}{sin\angle ABD} = \frac{sin\angle ADC}{sin\angle ACD}$

Do đó, $\frac{sin\angle ADB}{sin\angle ABD} < \frac{sin\angle ADC}{sin\angle ACD}$

$\Leftrightarrow \frac{sin\angle ADB}{sin\angle ADC} < \frac{sin\angle ABD}{sin\angle ACD}$

$\Leftrightarrow \frac{AD}{BD} < \frac{AD}{CD}$

$\Leftrightarrow BD < CD$

Vậy $\angle ADB < \angle ADC$.

Tổng kết lại, ta có $BD < CD$ và $\angle ADB < \angle ADC$, như vậy bài toán đã được chứng minh.