a) Ta biết rằng hai đường cao BM và CN từ M và N vuông góc với BC và cắt nhau tại hình tròn nội tiếp của tam giác ABC. Vì vậy, ta có thể sử dụng công thức diện tích tam giác:

• Diện tích tam giác ABM = 1/2 * AB * BM * sin(∠ABM)
• Diện tích tam giác AMN = 1/2 * AM * MN * sin(∠AMN)
• Diện tích tam giác ANC = 1/2 * AC * CN * sin(∠ANC)

Vì BM = CN = 1/3BC, nên ta có BM + MN + NC = BC. Từ đó suy ra độ dài MN = 1/3BC.

Do đó, ta có thể tính diện tích các tam giác như sau:

• BM = CN = 1/3BC, nên tỷ lệ độ dài BM/AB = CN/AC = 1/3. Vì vậy, tam giác ABM và ANC có diện tích bằng nhau.
• ∠ABM = ∠ANC (do chúng là góc ở đỉnh), nên sin(∠ABM) = sin(∠ANC). Vì vậy, diện tích của tam giác ABM và ANC bằng nhau.
• AMN là tam giác đồng dạng với tam giác ABC (vì AN//CE và BM//CF, trong đó E và F là trung điểm của AB và AC), nên tỷ lệ độ dài AM/AB = MN/BC = 1/3. Vì vậy, diện tích tam giác AMN bằng 1/9 diện tích tam giác ABC.
• Vì diện tích tam giác ABC = diện tích tam giác ABM + diện tích tam giác AMN + diện tích tam giác ANC, nên ta có thể kết luận rằng các tam giác ABM, AMN, ANC có cùng diện tích.

b) Giả sử diện tích tam giác ABN là S. Ta có thể tính diện tích tam giác AMC bằng cách lấy diện tích tam giác ABC trừ đi diện tích tam giác ABN và diện tích tam giác BMN:

• Diện tích tam giác BMN = 1/2 * BM * MN = 1/2 * (1/3BC) * (1/3BC) = 1/18 * BC²
• Diện tích tam giác AMC = diện tích tam giác ABC - diện tích tam giác ABN - diện tích tam giác BMN = 180 - S - 1/18 * BC²

Ta cần tìm giá trị của S và BC để tính được diện tích tam giác AMC. Từ điều kiện BM = CN = 1/3BC, ta suy ra BM/BC = 1/3.

Vì tam giác ABN và BNM là tam giác đồng dạng, nên tỷ lệ độ dài AB/BC = AN/BM. Ta có:

AB/BC = AN/BM = AN/(1/3BC)

Vậy, diện tích tam giác ABN:

S = 1/2 * AB * BN * sin(∠ABN) = 1/2 * AB * (2/3BC) * sin(∠ABN) = 1/3 * AB * BC * sin(∠ABN)

Do đó:

• S + 1/18 * BC² + diện tích tam giác AMC = 180
• S = 1/3 * AB * BC * sin(∠ABN)

Thay ABC = 180 vào phương trình trên, ta có:

S = 1/2 * AB * AC * sin(∠ABC) = 90

Do đó,

• Diện tích tam giác ABN là 90cm².
• Diện tích tam giác BMN là 1/