a) Ta có:

BE = BA (trong tam giác vuông BAE), AB = AC (trong tam giác vuông ABC), nên BE = AC.

BF = BC = BE + CE = AC + CE = AE (trong tam giác vuông AEF), nên BF = AE.

Gọi I là giao điểm của BD và EF. Ta chứng minh DE vuông góc BC và AE vuông góc BD như sau:

• Vì BD là phân giác của tam giác ABC, nên ta có $\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}=1$, suy ra BD=CD. Vì vậy, tam giác BDC là tam giác cân tại đỉnh D, và ta có $\angle BDC = \angle BCD = \frac{\angle ABC}{2} = \angle ABD$.
• Ta có $\angle AEB = 90^\circ - \angle BAE = 90^\circ - \angle ABC = \angle ABF$, nên tam giác AEB đồng dạng với tam giác ABF.
• Từ đó suy ra $\frac{AE}{AB}=\frac{BF}{AB}$, hay $\frac{AE}{AC}=\frac{BC}{AB+BC}$. Khi đó, $\frac{AD}{AC}=\frac{BD}{BC}=\frac{CD}{BC}=\frac{AB-AC}{BC}=\frac{AB}{BC}-1=\frac{AE}{BC}-1$, hay $\frac{AD}{AC}+1=\frac{AE}{BC}$. Đặt $k = \frac{AE}{BC}$, ta có $\frac{AD}{AC} = k-1$.
• Gọi M là trung điểm của EF. Khi đó, ta có $BM \parallel AE$ (do $BM \parallel CF$ và $CF \perp AE$), suy ra $\angle BMD = \angle AED$. Từ đó, $\angle BDE = \angle AED - \angle AEB = \angle BMD - \angle AEB = \angle ABD$.
• Vì $\angle BDE = \angle ABD$ nên tam giác BDE cũng là tam giác cân tại đỉnh D, suy ra DE vuông góc BC và AE vuông góc BD.

b) Ta có $AD = AB + BD = AB + BC > BC$, suy ra $AD > DC$.