Để giải bài toán này, ta bắt đầu bằng cách giải phương trình:

(1+i)z + (1-i)z* + (u-1+3i)/(u-3+5i) = real number

Trước hết, ta tính giá trị của (u-1+3i)/(u-3+5i) bằng cách nhân mẫu và tử với số phức liên hợp của mẫu:

(u-1+3i)/(u-3+5i) = ((u-1+3i)/(u-3+5i)) * ((u-3-5i)/(u-3-5i))
= (u(u-4)-12i)/(u^2-6u+34)

Sau đó, ta đặt z = a + bi, thay vào phương trình ban đầu và sắp xếp các phần thực và ảo để thu được 2 phương trình:

2a + (u(u-4)-12)/(u^2-6u+34) = real number
2b + (u(u-4)-12)/(u^2-6u+34) = 0

Phương trình thứ nhất là một đường thẳng trên mặt phẳng phức với hệ số góc là 2, phương trình thứ hai là một đường thẳng song song với trục thực. Để z là số phức, ta cần phải tìm giá trị của u sao cho hai đường thẳng này cắt nhau tại một điểm.

Để tìm giá trị u như vậy, ta cần phải giải hệ phương trình sau đây:

2a + (u(u-4)-12)/(u^2-6u+34) = real number
2b + (u(u-4)-12)/(u^2-6u+34) = 0

Để thuận tiện cho việc giải, ta đặt:

x = u(u-4)-12
y = u^2-6u+34

Khi đó, hệ phương trình trên trở thành:

2a + x/y = c
2b + x/y = 0

Với c là một số thực bất kỳ.

Từ phương trình thứ hai, ta có:

x = -2by/y = 8b

Thay x vào phương trình thứ nhất, ta được:

2a + 8b/y = c

Tương đương với:

y = 8b/(c-2a)

Thay y vào x, ta có:

u(u-4)-12 = 8b
u^2-6u+34 = 8b/(c-2a)

Đây là một hệ phương trình bậc hai đối với u. Ta giải hệ này để tìm giá trị u.

Trước hết, ta giải phương trình đầu tiên để tìm giá trị b:

b = (u(u-4)-12)/8

Thay b vào phương trình thứ hai, ta được:

u^2-