Để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức 4.(x1^2+x2^2)=5.x1^2.x2^2, ta cần phải tìm được giá trị của m sao cho phương trình (m-1).x^2-2m.x+m+1=0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức trên.

Theo định lý Viète, nếu phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thì ta có thể viết phương trình dưới dạng:

(m-1).x^2-2m.x+m+1 = (x-x1).(x-x2)

Mở rộng đẳng thức ta được:

(m-1).x^2-2m.x+m+1 = x^2 - (x1+x2).x + x1.x2

So sánh với phương trình ban đầu, ta có:

m-1 = 1
-2m = -(x1+x2)
m+1 = x1.x2

Từ phương trình thứ hai, suy ra:

x1+x2 = 2m

Thay vào phương trình thứ ba, ta được:

m+1 = x1.x2 = m^2

Điều kiện để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức 4.(x1^2+x2^2)=5.x1^2.x2^2 là:

4.(x1^2+x2^2)=5.x1^2.x2^2
<=> 4.(x1+x2)^2 - 8.x1.x2 = 5.(x1.x2)^2
<=> 4.(2m)^2 - 8.(m+1) = 5.m^2


16m^2 - 16m - 40 = 0
<=> 4m^2 - 4m - 10 = 0
<=> m^2 - m - 5/2 = 0

Áp dụng công thức tính nghiệm của phương trình bậc hai, ta được:

m = (1 ± sqrt(21))/2

Vậy, để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức 4.(x1^2+x2^2)=5.x1^2.x2^2, ta cần tìm giá trị của m là (1 + sqrt(21))/2 hoặc (1 - sqrt(21))/2.