Để chứng minh điều phải chứng minh, ta sẽ sử dụng nguyên lý trung bình cộng:

Ta có:
(1/2 + 1/2² + 1/2³ + ... + 1/2²²²) / 2022 < 1/2

Khi đó, ta sẽ chứng minh rằng:
1/2 + 1/2² + 1/2³ + ... + 1/2²²² < 2022/2

Để chứng minh điều này, ta sẽ chia dãy số 1/2, 1/2², 1/2³, ..., 1/2²²² thành các nhóm có 2 phần tử liên tiếp như sau:

(1/2) + (1/2) = 1
(1/2²) + (1/2²) = 1/2
(1/2³) + (1/2³) = 1/4
...
(1/2²²²) + (1/2²²²) = 1/2²²¹

Mỗi nhóm có tổng bằng 1 và có 2022/2 = 1011 nhóm, nên tổng của dãy số ban đầu sẽ nhỏ hơn 1011.

Vậy:
1/2 + 1/2² + 1/2³ + ... + 1/2²²² < 1011

Kết hợp với 1/2 < 1, ta có:
1/2 + 1/2² + 1/2³ + ... + 1/2²²² < 1011 < 2022/2

Do đó, ta đã chứng minh được rằng:
1/2 + 1/2² + 1/2³ + ... + 1/2²²² < 2022/2

Vậy:
1/2 + 1/2² + 1/2³ + ... + 1/2²²² + ... + 1/2^2022 < 2022/2 + 1/2^2022 < 1

Vì 2022/2 + 1/2^2022 < 2022/2 + 1/2^11 < 2022/2 + 1/2048 < 1, vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.