a) Ta có:
- AI là đường trung tuyến của tam giác ABC nên AI = (AB + AC)/2.
- Từ điều kiện tam giác cân tại A ta có AB = AC, suy ra AI = AC.
Do đó, tam giác ABI và tam giác ACI có 2 cạnh bằng nhau AB = AC và cạnh chung AI, nên chúng là 2 tam giác đồng dạng. Do đó, ta có ΔABI = ΔACI.
b) Vì AI là đường trung tuyến nên IG = AG = GB, suy ra tam giác ABG đồng dạng với tam giác IGC. Ta có:
- G là trung điểm của BD nên BD // AI.
- Tam giác ABC vuông tại A nên AI vuông góc với BC.
Do đó, ta có AI ⊥ BC.
c) Ta có:
- G là trung điểm của BD nên AG = GB = GD.
- Tam giác ABI đồng dạng với tam giác ACI, suy ra:
  + BI/CI = AB/AC = 1.
  + AG/CI = AI/AC = 1/2.
  + GD/CI = 1 - AG/CI = 1/2.
- Do đó, ta có: BI = CI và GD = 1/2 CI. Suy ra BI < 2GD.