Đặt E là trung điểm của BC, ta có BE = EC = 1/2 BC và BG = GM, CG = GN do BM, CN lần lượt là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Xét tam giác BGC ta có hai đường trung tuyến BM và CN, từ đó ta suy ra:

- GM = BG = 1/2 BC = EC
- GN = CG = 1/2 BC = BE

Do đó tam giác GME đồng dạng với tam giác BGC và ta có:

- GM/ME = BG/GC = 1
- ME/EC = EC/GN = 2

Từ đó suy ra ME = 2GM và EC = 2GN.

Xét tam giác AEC và ABG, ta thấy:

- AE // BG (do AB // CE vì tam giác ABC cân tại A)
- EC = BG (vì BE = EC và BG = GM)
- AC // BG (do BM là đường trung tuyến của tam giác ABC)

Vậy ta suy ra tam giác AEC đồng dạng với tam giác ABG. Từ đó ta có:

- AE/AB = EC/BG = 2/1

Do đó, ta có AG là đường trung tuyến của tam giác AEC và BG là đường trung tuyến của tam giác ABG, từ đó ta suy ra:

- AG = 2GP

Vậy ta đã chứng minh được ba điểm A, G, P thẳng hàng.