a) Ta có AM = AN (vì A là trung điểm của MN), MP = NP (vì ∆MNP cân tại P). Vì P > 90° nên ta có ∠NAP = 180° - ∠MAP. Do đó, ta có:

∠ANP = 180° - ∠NAP - ∠NPA = 180° - (180° - ∠MAP) - ∠MPA = ∠MAP + ∠MPA

Tương tự, ta có:

∠AMP = ∠MAP + ∠MPA

Vậy ∆NAP = ∆MAP (cùng có 2 góc bằng nhau và 1 cạnh chung).

Ta có MA ⊥ PN (vì A là trung điểm của MN) và MP ⊥ NA (vì ∆MNP cân tại P). Vậy PA ⊥ MN.

b) Ta có BA = 12cm và BG = GB (vì B là trung điểm của BM). Vậy AG = AB - BG = 12 - GB.

Áp dụng định lý Pythagore trong ∆ABG, ta có:

AG^2 + GB^2 = AB^2

(12 - GB)^2 + GB^2 = 144

GB^2 - 24GB + 72 = 0

Giải phương trình trên ta được GB = 6√3 cm (vì GB > 0).

c) Ta có BG = BC, vậy tam giác BCG là tam giác đều. Vậy ∠BGC = 60°.

Do đó, ∠MCN = ∠BGC = 60°.

Ta cũng có ∠MNC = ∠MNP + ∠PNM = (180° - ∠MPN) + (180° - ∠NPM) = 360° - 2∠NPM = 360° - 2(180° - <span>∠MCN) = 2<span>∠MCN - 360° = 2(60°) - 360° = -240°.

Vậy ∠CMN = 180° - ∠MCN - ∠MNC = 180° - 60° - (-240°) = 120°.

Do đó, tam giác CMN là tam giác nhọn. Ta cũng có CN < CM (vì ∠CMN > 90°). Vậy CM > CN.