Để chứng minh 3 điểm P, M, Q thẳng hàng, ta sử dụng các tính chất của tam giác vuông và đường trung tuyến như sau:

• Ta có AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của BC.
• K là trung điểm của AC nên AK song song với BM và KM song song với AC.
• Từ đó, ta có tam giác ABK = tam giác CBM (do có 2 góc vuông và 1 góc bằng nhau).
• Gọi N là trung điểm của BE, ta có MN song song với AC và MN = 1/2 BC.
• Từ tam giác AEM, ta có MP song song với AE và MP = 1/2 AE.
• Từ tam giác AHB, ta có AH song song với CE và AP/AE = HP/HE (định lí Thales).
• Từ tam giác BCE, ta có HP/HE = BH/BE (định lí Thales).
• Từ tam giác BKE, ta có BH/BE = EK/KE (định lí Thales).
• Từ tam giác KEH, ta có EK/KE = EP/EH (định lí Thales).
• Kết hợp các công thức trên, ta có AP/AE = EP/EH và MP/NE = 1/2.
• Từ đó suy ra, tam giác AMP = tam giác NEP (cùng có 2 góc bằng nhau và 1 cạnh chung).
• Tương tự, ta có tam giác BKC = tam giác NEC (cùng có 2 góc bằng nhau và 1 cạnh chung).
• Do đó, ta có tam giác ABK = tam giác CBM = tam giác NEC = tam giác BKC.
• Từ tam giác AHB, ta có AH song song với CE nên góc AHP = góc CEP.
• Từ tam giác CIE, ta có góc CEP = góc IQC.
• Từ tam giác ABI, ta có góc AHP = góc BQA.
• Từ tam giác BIK, ta có góc BQA = góc KBI.
• Kết hợp các công thức trên, ta có góc AHP = góc IQC = góc KBI.
• Từ tam giác AHP, ta có góc HAP = góc HPA.
• Từ tam giác CEP, ta có góc ECP = góc EPC.
• Từ tam giác BIK, ta có góc KIB = góc KBI.
• Kết hợp các công thức trên, ta có góc HAP = góc