Để chứng minh bất đẳng thức được cho, ta sử dụng phương pháp đặt biến và kỹ thuật chứng minh bằng phản chứng.

Giả sử rằng bất đẳng thức không đúng, tức là:

1/(a^2 + b^2 + c^2) + 2023/(ab + bc + ca) < 2024/3

Đặt S = a + b + c. Ta có S <= 3.

Áp dụng bất đẳng thức AM-HM, ta có:

(a^2 + b^2 + c^2)/3 >= (a + b + c)^2/9 = S^2/9

Từ đó, ta có: 1/(a^2 + b^2 + c^2) <= 9/S^2

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

(ab + bc + ca)/3 >= (a*b*c)^(2/3)

Từ đó, ta có: 2023/(ab + bc + ca) >= 2023/(3*(a*b*c)^(2/3))

Kết hợp với giả định ban đầu, ta có:

1/(a^2 + b^2 + c^2) + 2023/(ab + bc + ca) < 2024/3
<=>
9/S^2 + 2023/(3*(a*b*c)^(2/3)) < 2024/3

Tương đương với:
9/(S^2*(a*b*c)^(2/3)) + 2023/(3*(a*b*c)^(2/3)) < 2024/3

Đặt X = (a*b*c)^(1/3). Với X > 0, áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

9/(S^2*(a*b*c)^(2/3)) + 2023/(3*(a*b*c)^(2/3)) 
>= 2 * sqrt(9/(S^2*(a*b*c)^(2/3)) * 2023/(3*(a*b*c)^(2/3)))
= 2 * sqrt(6069/(S^2 * X^2))

Với 2 * sqrt(6069/(S^2 * X^2)) >= 2024/3, ta có:

sqrt(6069/(S^2 * X^2)) >= 2024/6
<=> 6069/(S^2 * X^2) >= (2024/6)^2
<=> 6069/(S^2 * X^2) >= 102416/36
<=> 6069 * 36 >= S^2 * X^2 * 102416
<=> 6069 * 36 * S^2 >= X^2 * 102416

Tuy nhiên, ta biết rằng X = (a*b*c)^(1/3) <= (a + b + c)/3 <= 1 (do S <= 3). Vì vậy, X^2 <= 1.

Từ đó, ta có: 6069 * 36 * S^2 >= X^2 * 102416 >= 102416

Như vậy

, ta có: 6069 * 36 * S^2 >= 102416
<=> 3 * 6069 * S^2 >= 3 * 102416
<=> S^2 >= 5428

Tuy nhiên, với S <= 3, ta có: S^2 <= 9.

Do đó, giả định ban đầu là sai. Bất đẳng thức được chứng minh.

Vậy, ta có: 1/(a^2 + b^2 + c^2) + 2023/(ab + bc + ca) >= 2024/3, với a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c <= 3.