Để chứng minh các yêu cầu trong bài tập này, trước tiên chúng ta xác định vị trí các điểm trong hình chữ nhật \(ABCD\).

Giả sử:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(2a, 0) \)
- \( C(2a, b) \)
- \( D(0, b) \)

Với \( AB = 2AD \), ta có \( AB = 2a \) và \( AD = b \).

**a) Chứng minh tứ giác \( MNCP \) là hình bình hành.**

- Gọi điểm \( H \) là giao điểm của đường thẳng \( BH \) vuông góc với đường chéo \( AC \). Ta cần tìm tọa độ của \( H \).

Đường chéo \( AC \) có phương trình:
\[
y = \frac{b}{2a} x
\]

Tọa độ điểm \( B \) là \( (2a, 0) \), đường thẳng từ \( B \) đến \( H \) vuông góc với \( AC \) có hệ số góc là \(-\frac{2a}{b}\), vậy phương trình của đường thẳng \( BH \) là:
\[
y - 0 = -\frac{2a}{b} (x - 2a)
\]
\[
y = -\frac{2a}{b} x + \frac{4a^2}{b}
\]

- Từ phương trình của \( AC \) và \( BH \), tìm giao điểm \( H \):
\[
-\frac{2a}{b} x + \frac{4a^2}{b} = \frac{b}{2a} x
\]
Giải hệ phương trình trên sẽ cho ra tọa độ \( H \).

- Sau khi có vị trí điểm \( H \), ta có thể xác định các trung điểm:
- Trung điểm \( M \) của \( AH \):
\[
M\left( \frac{0 + x_H}{2}, \frac{0 + y_H}{2} \right)
\]
- Trung điểm \( N \) của \( BH \):
\[
N\left( \frac{2a + x_H}{2}, \frac{0 + y_H}{2} \right)
\]
- Trung điểm \( P \) của \( CD \):
\[
P\left( \frac{2a + 0}{2}, \frac{b + b}{2} \right) = (a, b)
\]

- Để chứng minh \( MNCP \) là hình bình hành, ta cần chứng minh \( MN \parallel CP \) và \( MP \parallel NC \). Tọa độ các điểm sẽ được sử dụng để tính độ dốc và chứng minh 2 cặp cạnh này song song.

**b) Chứng minh \( MP \) vuông góc với \( MB \).**

- Xác định vector:
- Vector \( MB = B - M = (2a - M_x, -M_y) \)
- Vector \( MP = P - M = (a - M_x, b - M_y) \)

- Để \( MP \) vuông góc với \( MB \), ta có:
\[
MB \cdot MP = 0
\]

- Tính tích vô hướng sẽ cho ra một điều kiện cho giá trị tọa độ để chứng minh.

**c) Gọi \( I \) là trung điểm của \( BP \) và \( J \) là giao điểm của \( MC \) và \( NP \). Chứng minh rằng: \( IJ \parallel HN \)**

- Xác định tọa độ \( I \) là trung điểm của \( BP \):
\[
I\left( \frac{2a + a}{2}, \frac{0 + b}{2} \right) = \left( \frac{3a}{2}, \frac{b}{2} \right)
\]

- Phương trình của đường thẳng \( HN \) và \( IJ \) có thể được tìm bằng cách tính độ dốc giữa các điểm và so sánh.

- Nếu độ dốc của \( IJ \) và \( HN \) bằng nhau, thì \( IJ \parallel HN \).

Tóm lại, bài toán yêu cầu ta chứng minh tứ giác \( MNCP \) là hình bình hành, chứng minh một số góc vuông và tính chất song song giữa các đoạn thẳng trong hình chữ nhật với các điểm cụ thể.