Cho tam giác \( ABC \) có \( AB = AC \). Gọi \( M \) là trung điểm của \( BC \).

### a) Chứng minh hai tam giác \( ABM \) và \( ACM \) bằng nhau.

Để chứng minh hai tam giác \( ABM \) và \( ACM \) bằng nhau, ta sẽ chứng minh rằng 3 cặp cạnh và góc tương ứng của chúng bằng nhau.

1. **Cạnh chung**: \( AM \) là cạnh chung của tam giác \( ABM \) và \( ACM \).
2. **Cạnh bằng nhau**: Ta có \( AB = AC \) (do đề bài).
3. **Cạnh bằng nhau**: Bởi vì \( M \) là trung điểm của \( BC \) nên \( BM = CM \).

Kết hợp cả 3 yếu tố trên, ta có:
- \( AB = AC \)
- \( AM \) là cạnh chung
- \( BM = CM \)

Theo tiêu chuẩn cạnh-cạnh-cạnh (CCC), tam giác \( ABM \) bằng tam giác \( ACM \):
\[
\triangle ABM \cong \triangle ACM
\]

### b) Chứng minh \( AM \) vuông góc \( BC \).

Xét hai tam giác \( ABM \) và \( ACM \) đã được chứng minh bằng nhau. Ta có góc \( \angle ABM = \angle ACM \) (do 2 tam giác bằng nhau) và \( BM = CM \) (do M là trung điểm).

Vì \( AB = AC \), khi \( M \) là trung điểm của \( BC \), áp dụng định lý về góc nội tiếp, ta có:

Nếu \( AM \) cắt \( BC \) tại \( M \) và \( \angle ABM = \angle ACM \), thì nghĩa là \( AM \) vuông góc với \( BC \) (do hai góc này là góc đối đỉnh).

Do đó, ta có:
\[
AM \perp BC
\]

### c) Chứng minh \( AM \) là phân giác của góc \( BAC \).

Trong hai tam giác \( ABM \) và \( ACM \), ta có chúng bằng nhau, nên góc \( \angle BAM \) và \( \angle CAM \) sẽ bằng nhau.

Cụ thể:
\[
\angle BAM = \angle CAM
\]

Vì vậy, \( AM \) là phân giác của góc \( BAC \).

Tóm lại, ta đã chứng minh được:

- a) Hai tam giác \( ABM \) và \( ACM \) bằng nhau.
- b) Đường \( AM \) vuông góc với \( BC \).
- c) Đường \( AM \) là phân giác của góc \( BAC \).