Để chứng minh rằng 5 điểm A, I, O, B, S cùng thuộc một đường tròn, ta sẽ sử dụng định lý tam giác vuông.

Giả sử đường tròn (O) có bán kính R và điểm S nằm ở ngoài đường tròn (O). Gọi E là giao điểm của tiếp tuyến SA và tiếp tuyến SB tại đường tròn (O).

Khi đó, ta có:

• Đường tròn (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB.
• Tiếp tuyến SA và SB là các tiếp tuyến chung của đường tròn (O) và đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB.
• Theo định lý tam giác vuông, ta có đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB có đường chéo AB là đường tròn ngoại tiếp tam giác SCD (do AC và BD là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn (O) và đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB).
• Vì I là trung điểm của đường chéo CD, nên I cũng nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác SCD.
• Từ đó, ta có A, I, O, B cùng nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB và đường tròn ngoại tiếp tam giác SCD.

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh điểm S cũng nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB.

• Gọi M là trung điểm của AB.
• Ta có tứ giác SMAE là tứ giác cân (do AM = AE vì A, I, O, B cùng nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB).
• Vì ME là đường cao của tam giác SMA, nên góc SMA = góc SEA.
• Nhưng góc SEA = góc SBA (do SA và SB là tiếp tuyến chung của đường tròn (O) và đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB).
• Do đó, góc SMA = góc SBA, tức là điểm S nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB.

Từ đó, ta chứng minh được rằng 5 điểm A, I, O, B, S cùng thuộc một đường tròn.