Để chứng minh đa thức x.f(x+1)=(x-4).f(x) có ít nhất 3 nghiệm, ta sẽ sử dụng định lý Rolle.

Theo định lý Rolle, nếu một đa thức f(x) có nghiệm khác nhau a và b trên đoạn [c,d] và f(a) = f(b), thì tồn tại ít nhất một điểm c trong (a,b) sao cho f'© = 0.

Áp dụng định lý này vào đa thức x.f(x+1)=(x-4).f(x), ta có:

• Để đa thức x.f(x+1) bằng 0, ta có x = 0 hoặc f(x+1) = 0. Vì vậy, x = 0 hoặc x+1 là một nghiệm của đa thức.
• Để đa thức (x-4).f(x) bằng 0, ta có x = 4 hoặc f(x) = 0. Vì vậy, x = 4 hoặc x là một nghiệm của đa thức.

Ta sẽ chứng minh rằng đa thức x.f(x+1)=(x-4).f(x) có ít nhất 3 nghiệm bằng cách tìm ba điểm phân biệt trên đoạn [-1,5] sao cho giá trị của đa thức tại các điểm đó bằng 0.

• Ta chọn x = -1. Khi đó, ta có:

(-1).f(0) = (-1-4).f(-1)
⇔ -f(0) = -5f(-1)
⇔ f(0) = 5f(-1)

• Ta chọn x = 0. Khi đó, ta đã biết rằng x = 0 hoặc x+1 là một nghiệm của đa thức. Vì vậy, ta có:

0.f(1) = (-4).f(0)
⇔ f(0) = 0

• Ta chọn x = 5. Khi đó, ta có:

5.f(6) = (5-4).f(5)
⇔ 5f(6) = f(5)

Từ ba phương trình trên, ta suy ra được:

f(0) = 5f(-1)
f(0) = 0
5f(6) = f(5)