a) Chứng minh: OA là phân giác góc MON và AN là tiếp tuyến của (O).

Vì O là tâm đường tròn đường kính BC, ta có OB = OC = R (với R là bán kính đường tròn).

Ta có: ∠OMB = ∠OMC = 90° (góc vuông).

Vì OA là phân giác góc MON, ta cần chứng minh rằng ∠OAN = ∠MAN.

Do OB = OC và ∠OMB = ∠OMC, nên tam giác OMB và tam giác OMC đồng dạng (theo trường hợp góc - cạnh - góc).

Khi đó, ta có ∠OMC = ∠OBC và ∠OMB = ∠OCB.

Suy ra ∠OBC = ∠OCB.

Nhưng OB = OC, nên tam giác OBC là tam giác cân, và do đó, ta có ∠OBC = ∠OCB = 90°/2 = 45°.

Vậy, ∠OBC = ∠OCB = 45°.

Tiếp theo, ta cần chứng minh rằng AN là tiếp tuyến của (O).

Ta có ∠OBC = ∠OCB = 45° (góc vuông), nên OB = OC = R và tam giác OBC là tam giác cân.

Do đó, ta có ∠OAC = ∠OCB = 45°.

Vì ∠OAC = ∠OCB và OA = OC, nên tam giác OAC và tam giác OCB đồng dạng (theo trường hợp góc - cạnh - góc).

Khi đó, ta có ∠OCA = ∠OAC = 45°.

Suy ra, ∠OAN = ∠OAC + ∠CAN = 45° + 90° = 135°.

Vì ∠OAN = 135°, nên AN là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Vậy, ta đã chứng minh được OA là phân giác góc MON và AN là tiếp tuyến của (O).

b) Chứng minh: AK.AI = AE.AF

Ta biết AK là đường chéo của tứ giác AEKF (vì I là trung điểm EF).

Do đó, ta có AK là đường đối xứng của EF qua trung điểm I.

Vì vậy, AK cắt EF ở trung điểm I.

Từ tam giác AKM và tam giác AEN, ta có:

∠MAK = ∠NAE (cùng là góc ở tâm nằm trên cùng một cung MN) ∠AKM = ∠ANE (góc ở đỉnh) Vì ∠MAK = ∠NAE và ∠AKM = ∠ANE, nên tam giác AKM và tam giác AEN đồng dạng (theo trường hợp góc - góc - góc).

Do đó, ta có AK/AE = AM/AN.

Tương đương với AK.AN = AM.AE.

Nhưng AK = 2AI (do I là trung điểm EF), nên ta có 2AI.AN = AM.AE.

Suy ra, AK.AI = AM.AE/2.

Vì K nằm trên đoạn thẳng EF, nên ta có AE.AF = AM.AE/2.

Do đó, ta có AK.AI = AE.AF.

Vậy, ta đã chứng minh AK.AI = AE.AF.

c) Đường thẳng qua E song song với AN cắt MN tại P, FP cắt AN tại Q. Chứng minh Q là trung điểm của AN.

Vì đường thẳng EF song song với AN và cắt MN tại P, nên ta có:

∠NEP = ∠NAF (do EF song song với AN) ∠ENP = ∠FAN (cùng là góc ở tâm nằm trên cùng một cung MN)

Do đó, tam giác NEP và tam giác NAF đồng dạng (theo trường hợp góc - góc - góc).

Vậy, ta có NE/NA = NP/NF.

Nhưng NE = NA (vì N là điểm trên đường tròn tâm O), nên ta có NA/NA = NP/NF.

Suy ra, 1 = NP/NF.

Do đó, NP = NF.

Vì FP cắt AN tại Q, nên Q là trung điểm của AN.

Vậy, ta đã chứng minh Q là trung điểm của AN.