a) Để chứng minh MECD nội tiếp và CD vuông góc với AB, ta sử dụng tính chất của các góc và điểm nằm trên cùng một đường tròn.

Vì M và E là hai điểm nằm trên đường tròn (O;R), nên ta có: ∠MOC = ∠EOC = 90° (góc nội tiếp chắn cung MOE)

Đồng thời, ta có: ∠MCA = ∠BCA (vì MA là tiếp tuyến tại M, nên ∠MCA là góc nghiêng với tiếp tuyến) ∠CBE = ∠CAE (vì EB là tiếp tuyến tại E, nên ∠CBE là góc nghiêng với tiếp tuyến)

Từ đó, suy ra: ∠MOC = ∠EOC ∠MCA = ∠BCA ∠CBE = ∠CAE

Do đó, ta có MECD nội tiếp.

Vì ∠MOC = ∠EOC = 90°, nên ta có CD vuông góc với AB.

b) Để chứng minh BE.BC = BH.BA, ta sử dụng định lý đường cao trong tam giác vuông và định lý Euclid.

Trong tam giác ABE, ta có: ∠ABE = 90° - ∠BAE = 90° - 30° = 60° ∠BAE = 30° (cho trước)

Từ đó, ta có: ∠BEA = 180° - ∠BAE - ∠ABE = 180° - 30° - 60° = 90°

Vậy tam giác ABE là tam giác vuông tại E.

Theo định lý đường cao trong tam giác vuông, ta có: BE^2 = BH.BA

Từ đó, suy ra: BE.BC = BH.BA.

c) Để chứng minh các tiếp tuyến tại M và E của đường tròn (O) cắt nhau tại một điểm nằm trên đường thẳng CD, ta sử dụng định lý của cặp góc nội tiếp và cặp góc ngoại tiếp.

Do MECD là tứ giác nội tiếp, nên ta có: ∠EMC = ∠EDC (góc nội tiếp chắn cung ME) ∠DME = ∠DCB (góc nội tiếp chắn cung DE)

Từ đó, ta có: ∠EMC + ∠DME = ∠EDC + ∠DCB ∠EMC + ∠DME = ∠EDC + ∠BCD (vì ∠DCB = ∠BCD)

Vậy ta có: ∠EMC + ∠DME = ∠EDC + ∠BCD.

Do đó, các tiếp tuyến tại M và E của đường tròn (O) cắt nhau tại một điểm nằm trên đường thẳng CD.