Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ làm theo các bước sau:

a) Đầu tiên, để tìm đường di chuyển của M khi C di chuyển trên đoạn AB, ta cần xem xét các trường hợp của vị trí tương đối giữa A, C và B.

- Trường hợp 1: C nằm giữa A và B. Khi đó, đường AP và BQ sẽ cắt nhau ở một điểm duy nhất và M sẽ nằm trên đường thẳng AB.

- Trường hợp 2: C nằm bên ngoài đoạn AB, từ phía A hoặc phía B. Trong trường hợp này, đường AP và BQ không cắt nhau và không có điểm chung P và Q. Vì vậy, M sẽ không di chuyển trên đường nào.

b) Để chứng minh tứ giác APQB nội tiếp, ta cần chứng minh rằng góc P và góc Q ở đỉnh của tứ giác này có tổng bằng 180 độ.

Theo định lý về góc nội tiếp và góc tiếp tuyến, ta biết rằng góc P là góc giữa tiếp tuyến PQ và cung PAC, và góc Q là góc giữa tiếp tuyến PQ và cung QBC. Vì cả hai cung PAC và cung QBC đều là nửa đường tròn, nên góc P và góc Q đều là góc vuông.

Do đó, tứ giác APQB có tổng góc bằng 360 độ và các góc P và Q đều là góc vuông, nên tứ giác APQB nội tiếp.