a) Chứng minh tứ giác IKMB nội tiếp:
Để chứng minh tứ giác IKMB nội tiếp, ta sẽ sử dụng tính chất góc nội tiếp.

Vì CD vuông góc với AB, nên góc MCD và góc MKD là góc nội tiếp cùng chắn cung MD. 
Ta cũng có góc MOA và góc MIA là góc nội tiếp cùng chắn cung MA.
Từ hai góc nội tiếp cùng chắn cung MD và MA, ta có:
góc MCD = góc MAD (1)
góc MKD = góc MOA (2)

Từ điều kiện OA = 3.OI, ta có:
OI = OA/3
OM = OA - AM = OA - (OA/3) = 2/3 * OA

Vậy, góc MOA = góc MIA (3)

Từ (1), (2) và (3), ta có:
góc MCD = góc MAD = góc MKD = góc MOA = góc MIA

Vậy, tứ giác IKMB nội tiếp.

b) Chứng minh góc ACK bằng góc CMK:
Ta có tứ giác IKMB nội tiếp (vừa chứng minh ở câu a).
Từ tính chất tứ giác nội tiếp, ta biết rằng tổng các góc đối diện trong tứ giác nội tiếp bằng 180 độ.

Gọi góc ACK là x và góc CMK là y.
Ta có:
góc AKM + góc IBM = 180 độ (tổng các góc đối diện trong tứ giác nội tiếp)
góc AKM = 180 độ - góc IBM = 180 độ - (góc CMK + góc MKI) (1)

Từ tứ giác IKMB nội tiếp, ta biết rằng góc MKI = góc MBK.
Vậy, (1) có thể được viết lại thành:
góc AKM = 180 độ - (góc CMK + góc MBK)

Như vậy, góc ACK = góc AKM = góc CMK + góc MBK.

Vậy, góc ACK bằng góc CMK.