a. Để chứng minh tứ giác ACPM là tứ giác nội tiếp, ta cần chứng minh góc APC và góc AMC là góc bù.

Góc APC là góc giữa đường thẳng d và tia PA, và góc AMC là góc giữa đường thẳng d và tia CM.

Vì d vuông góc với CA, nên góc APC và góc AMC là góc bù.

Do đó, tứ giác ACPM là tứ giác nội tiếp.

b. Ta có: BM.BP = BN.BQ (vì N là điểm trên đường tròn (O)) = (R + CN).(R - CN) (vì AC = R) = R^2 - CN^2

Từ tam giác CBN, ta có: CN^2 + BN^2 = BC^2 (theo định lý Pythagoras)

Vì BC = 2R (vì AB là đường kính đường tròn), ta có: CN^2 + BN^2 = (2R)^2 CN^2 + BN^2 = 4R^2

Từ đó, ta có: BM.BP = R^2 - CN^2 = R^2 - (4R^2 - BN^2) = R^2 - 4R^2 + BN^2 = BN^2 - 3R^2

c. Ta cần chứng minh PC và NQ song song.

Gọi I là giao điểm của PC và NQ. Ta cần chứng minh PI // CN.

Do CN vuông góc với d, nên góc MCI là góc vuông. Vì N là điểm trên đường tròn (O), nên góc MNI là góc vuông.

Từ đó, ta có hai góc MCI và MNI là góc vuông, suy ra hai tam giác MCI và MNI đồng dạng (có hai góc vuông tương đương).

Do đó, ta có: PI/PC = NI/NQ

Nhưng ta cũng có: AC = R, nên CN // AB (vì CN và AB là hai đường vuông góc với CA) => ΔCNB ~ ΔCAB (tương tự tứ giác CBNQ ~ CABP)

Từ đó, ta có: NI/NQ = CN/CB = CA/CB = PA/PC

Vậy, PI/PC = NI/NQ = PA/PC, suy ra PI // CN.

Do đó, PC và NQ song song.

d. Để chứng minh trọng tâm G của tam giác CMB luôn nằm trên một đường tròn cố định khi điểm M thay đổi trên đường tròn (O), ta cần chứng minh rằng GM // PC.

Vì G là trọng tâm của tam giác CMB, nên GM là đường cao của tam giác CMB.

Vì PC vuông góc với CN (vì d vuông góc với CA và CN là tiếp tuyến tại N của đường tròn (O)), nên GM // PC.

Do đó, trọng tâm G của tam giác CMB luôn nằm trên một đường tròn cố định khi điểm M thay đổi trên đường tròn (O).