a) Để chứng minh rằng S là một quan hệ tương đương trên Z, ta cần kiểm tra 3 điều kiện sau:

1. Tính phản xạ: Mọi phần tử a thuộc Z đều có aSa, vì a - a = 0 chia cho 5 luôn bằng 0.

2. Tính đối xứng: Nếu aSb thì bSa, vì (a-b)/5 = -(b-a)/5.

3. Tính bắc cầu: Nếu aSb và bSc thì aSc, vì (a-b)/5 + (b-c)/5 = (a-c)/5.

Vì vậy, S là một quan hệ tương đương trên Z.

b) Để tìm các lớp tương đương, ta cần tìm tất cả các phần tử trong Z mà có cùng số dư khi chia cho 5 với 7 hoặc 8.

• Lớp tương đương của 7 là {7, 12, 17, 22, …}, tức là tất cả các số có dạng 7 + 5k, với k là số nguyên.
• Lớp tương đương của 8 là {8, 13, 18, 23, …}, tức là tất cả các số có dạng 8 + 5k, với k là số nguyên.

Vậy các lớp tương đương là {…, -3, 2, 7, 12, 17, 22, …} và {…, -2, 3, 8, 13, 18, 23, …}.