Để chứng minh rằng S là một quan hệ tương đương trên Z×N*, ta cần chứng minh rằng nó thỏa mãn ba tính chất sau:

1. Tính ứng xử đối xứng: Nếu (a, b)S(c, d) thì (c, d)S(a, b)
2. Tính ứng xử phản xạ: (a, b)S(a, b) với mọi (a, b) thuộc Z×N*
3. Tính ứng xử bắc cầu: Nếu (a, b)S(c, d) và (c, d)S(e, f) thì (a, b)S(e, f)

Bây giờ ta sẽ chứng minh từng tính chất này một cách cụ thể:

1. Tính ứng xử đối xứng: Giả sử (a, b)S(c, d), tức là ad = bc. Ta cần chứng minh rằng (c, d)S(a, b), tức là cb = da. Điều này có thể suy ra bằng cách hoán đổi vị trí của a và c trong biểu thức ad = bc: ad = bc ⇔ cb = da Do đó, ta đã chứng minh được tính chất ứng xử đối xứng.

2. Tính ứng xử phản xạ: Ta cần chứng minh rằng (a, b)S(a, b), tức là ab = ba. Điều này hiển nhiên đúng vì phép nhân trên Z và N* là phép nhân có tính chất giao hoán.

3. Tính ứng xử bắc cầu: Giả sử (a, b)S(c, d) và (c, d)S(e, f), tức là ad = bc và cf = de. Ta cần chứng minh rằng (a, b)S(e, f), tức là af = be. Từ ad = bc, ta suy ra a = (bc)/d. Thay a vào biểu thức cf = de, ta được bce/d = de ⇔ be = cd Từ đó, suy ra af = (bcf)/d = (bed)/d = b(e/d)c = be, vì e và d đều là số nguyên dương. Do đó, ta đã chứng minh được tính chất ứng xử bắc cầu.

Vì S thỏa mãn cả ba tính chất trên, nên ta kết luận rằng S là một quan hệ tương đương trên Z×N*.